Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-1（a∈R），g（x）=xf（x）+$\frac{1}{2}{x^2}$+2x．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（m，m+1）（m∈Z）內(nèi)存在唯一的極值點，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)函數(shù)的零點，求出函數(shù)的極值點，求出m的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得x＞0，$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$，
（�。┊�(dāng)a≤0時，f'（x）＞0恒成立，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
（ⅱ）當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{a}$；
由f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{a}$；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，+∞）$．
（Ⅱ）因為$g（x）=xf（x）+\frac{1}{2}{x^2}+2x$=$x（lnx-x-1）+\frac{1}{2}{x^2}+2x$=$xlnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
則g'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2=f（x）+3．
由（Ⅰ）可知，函數(shù)g'（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
又因為$g'（\frac{1}{e^2}）=-2-\frac{1}{e^2}+2$=$-\frac{1}{e^2}＜0$，g'（1）=1＞0，
所以g'（x）在（0，1）上有且只有一個零點x₁．
又在（0，x₁）上g'（x）＜0，g（x）在（0，x₁）上單調(diào)遞減；
在（x₁，1）上g'（x）＞0，g（x）在（x₁，1）上單調(diào)遞增．
所以x₁為極值點，此時m=0．
又g'（3）=ln3-1＞0，g'（4）=2ln2-2＜0，
所以g'（x）在（3，4）上有且只有一個零點x₂．
又在（3，x₂）上g'（x）＞0，g（x）在（3，x₂）上單調(diào)遞增；
在（x₂，4）上g'（x）＜0，g（x）在（x₂，4）上單調(diào)遞減．
所以x₂為極值點，此時m=3．
綜上所述，m=0或m=3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．