Question

8．給出下列命題：
①log_0.53＜2${\;}^{\frac{1}{3}}$＜（$\frac{1}{3}$）^0.2； 
②函數(shù)f（x）=log₄x-2sinx有5個(gè)零點(diǎn)；
③函數(shù)f（x）=ln$\frac{x-4}{x-6}$+$\frac{x}{12}$的圖象以$（5，\frac{5}{12}）$為對(duì)稱(chēng)中心；
④已知a、b、m、n、x、y均為正數(shù)，且a≠b，若a、m、b、x成等差數(shù)列，a、n、b、y成等比數(shù)列，則有m＞n，x＜y．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷三個(gè)數(shù)值的大小進(jìn)行比較即可．
②利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的相交問(wèn)題進(jìn)行求解即可．
③利用對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)建立方程關(guān)系，進(jìn)行求解．
④根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)和公式進(jìn)行證明．

解答 解：①∵log_0.53＜0，2${\;}^{\frac{1}{3}}$＞1，0＜（$\frac{1}{3}$）^0.2＜1，
∴l(xiāng)og_0.53＜（$\frac{1}{3}$）^0.2＜2${\;}^{\frac{1}{3}}$；故①錯(cuò)誤，
②由f（x）=log₄x-2sinx=0得log₄x=2sinx，
作出兩個(gè)函數(shù)y=log₄x和y=2sinx的圖象如圖：
由圖象知兩個(gè)函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）有5個(gè)零點(diǎn)；故②正確，
③設(shè)f（x）的定義域?yàn)镈，?∈D，有：$f（x）+f（10-x）=ln\frac{x-4}{x-6}+\frac{x}{12}+ln\frac{6-x}{4-x}+\frac{10-x}{12}=\frac{5}{6}$，
所以，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（5，\frac{5}{12}）$對(duì)稱(chēng)．
故函數(shù)f（x）=ln$\frac{x-4}{x-6}$+$\frac{x}{12}$的圖象以$（5，\frac{5}{12}）$為對(duì)稱(chēng)中心，正確；故③正確，
④∵a、b、m、n、x、y均為正數(shù)，且a≠b，且 a、m、b、x成等差數(shù)列，∴m=$\frac{a+b}{2}$．
又  a、n、b、y成等比數(shù)列，∴n=$\sqrt{ab}$，由基本不等式可得 m＞n．
又 同理可得 b=$\frac{m+x}{2}$=$\sqrt{ny}$≥$\sqrt{mx}$，∴y＞x．
綜上，m＞n，x＜y，故④正確，
綜上正確的是②③④，共3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)值的大小比較以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．