Question

18．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且一個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C右焦點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，又直線OM交直線x=2于點(diǎn)T，$\overrightarrow{OT}$=2$\overrightarrow{OM}$，求線段MN的長；
（3）半徑為r的圓Q以橢圓C的右頂點(diǎn)為圓心，若存在直線l：y=kx，使直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與圓Q分別交于G、H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|=|BH|，求圓O的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且一個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形及b²=a²-c²即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由$\overrightarrow{OT}$=2$\overrightarrow{OM}$，可得M的坐標(biāo)，從而可求線段MN的長；
（3）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可得到|AB|，利用垂徑定理及半徑、弦長的一半、弦心距三者之間的關(guān)系得到|GH|，進(jìn)而得出k．

解答 解：（1）∵橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且一個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$bc=1，b=c，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）由題意可知x_M=x_F=c=1，
故將x_M=1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，可得|y_M|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而|MN|=$\sqrt{2}$．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由直線l與橢圓C，消去y得到（1+2k²）x²-2=0，則x₁+x₂=0，x₁x₂=-$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$．
點(diǎn)Q（$\sqrt{2}$，0）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{2}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
則|GH|=2$\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$．
顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾．
∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．
∴$\sqrt{\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
解得k²=1，即k=±1．

點(diǎn)評 熟練掌握橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與曲線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線l的方程與曲線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式、垂徑定理及半徑、弦長的一半、弦心距三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．