Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的短軸兩端點(diǎn)分別為A，B，過(guò)橢圓C外一點(diǎn)T（0，m）是否存在一條直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，使得$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$？若存在，請(qǐng)求出此直線；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），列出方程組，能求出a²=4，b²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出過(guò)橢圓C外一點(diǎn)T（0，m）存在一條直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，使得$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$，并能求出此直線方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）設(shè)過(guò)橢圓C外一點(diǎn)T（0，m）存在一條直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，
∴設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∵橢圓的短軸兩端點(diǎn)分別為A（0，$\sqrt{3}$），B（0，-$\sqrt{3}$），橢圓C外一點(diǎn)T（0，m），
$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$，
∴（x₁，y₁-m）•（x₂，y₂-m）=$\frac{7}{6}$（0，$\sqrt{3}$-m）•（0，-$\sqrt{3}$-m），
即（k²+1）x₁x₂=$\frac{7}{6}（{m}^{2}-3）$，
∴$（{k}^{2}+1）×\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7}{6}（{m}^{2}-3）$，
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴過(guò)橢圓C外一點(diǎn)T（0，m）存在一條直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，使得$\overrightarrow{TP}$•$\overrightarrow{TQ}$=$\frac{7}{6}$$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$，
此直線方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}x+m$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的探究與求法，考查推理誰(shuí)論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、化歸思想，是中檔題．