Question

18．已知圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a＞0，b＞0）上任意一點關于直線l：x+y+2=0的對稱點都在圓C上，則$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出圓的圓心坐標，由題意可知圓心在直線上，得到a，b的方程，然后利用基本不等式求出$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值．

解答 解：圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a＞0，b＞0），所以圓的圓心坐標（-$\frac{2}$，-$\frac{a}{2}$），
因為圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a＞0，b＞0）上任意一點關于直線l：x+y+2=0的對稱點都在圓C上，
所以直線經過圓心，即a+b=4．
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}$=$\frac{1}{4}$（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}$）=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{a}$+$\frac{2b}{a}$）≥$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$
當且僅當$\frac{a}$=$\frac{2b}{a}$時，等號成立，故$\frac{2}{a}+\frac{1}$的最小值為$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，基本不等式的應用，考查轉化思想，計算能力，屬于基礎題．