Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意n∈N^*，S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，且（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，則實數(shù)p的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{7}{4}$，$\frac{23}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{23}{4}$）
• C． （-$\frac{7}{4}$，6）
• D． （-2，$\frac{23}{4}$）

Answer 1

分析 通過S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6與S_n-1=（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2n-8（n≥2）作差，進而整理可得數(shù)列{a_n}的通項公式，分n為奇偶兩種情況解不等式即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，
∴當n≥2時，S_n-1=（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2n-8，
兩式相減得：a_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6-[（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+2n-8]，
整理得：[1-（-1）ⁿ]a_n=（-1）ⁿa_n-1+2-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥2），（*）
又∵S_n=（-1）ⁿa_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$+2n-6，
∴S₁=（-1）a₁+$\frac{1}{2}$+2-6，即a₁=-$\frac{7}{4}$，
下面對n的奇偶性進行討論：
（1）當n為偶數(shù)時，化簡（*）可知：a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n}}$-2，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-2（n為奇數(shù)）；
（2）當n為奇數(shù)時，化簡（*）可知：2a_n=-a_n-1+2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
即$\frac{1}{{2}^{n}}$-4=-a_n-1+2-$\frac{1}{{2}^{n}}$，即a_n-1=6-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=6-$\frac{1}{{2}^{n}}$（n為偶數(shù)）；
于是a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2}^{n+1}}-2，}&{n為奇數(shù)}\\{-\frac{1}{{2}^{n}}+6，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
∵對任意n∈N^*（a_n+1-p）（a_n-p）＜0恒成立，
∴對任意n∈N^*（p-a_n+1）（p-a_n）＜0恒成立．
又∵數(shù)列{a_2k-1}單調(diào)遞減，數(shù)列{a_2k}單調(diào)遞增，
∴當n為奇數(shù)時，有：a_n＜p＜a_n+1，
則a₁＜p＜a₁₊₁，即-$\frac{7}{4}$＜p＜$\frac{23}{4}$；
當n為偶數(shù)時，有：a_n+1＜p＜a_n，
則a₂₊₁＜p＜a₂，即-$\frac{15}{8}$＜p＜$\frac{23}{4}$；
綜上所述，-$\frac{7}{4}$＜p＜$\frac{23}{4}$，
故選：A．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．