Question

4．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x）不為常值函數(shù)，有以下命題：
①函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；
③若f（x）是奇函數(shù)，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z）；
④對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數(shù)，
其中所有正確命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可判斷①；根據(jù)已知分析函數(shù)的對稱性，可判斷②；根據(jù)已知分析出函數(shù)的周期性和對稱性，可判斷③；根據(jù)已知分析出函數(shù)的單調(diào)性，可判斷④

解答 解：∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)，故①正確；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，但不一定是周期函數(shù)，故錯誤；
③若f（x）是奇函數(shù)，且對于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，則函數(shù)的周期為4，則f（x）的圖象的對稱軸方程為x=2n+1（n∈Z），故正確；
④對于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，則f（x）為R上的增函數(shù)，故正確，
故答案為：①③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的周期性和函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．