Question

2．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$（n∈N^*），
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）歸納猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，即可求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（Ⅰ）可猜想a_n=$\frac{1}{3n-2}$；分二步證明即可：①當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；②假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，去推證n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{7}$；
a₃=$\frac{{a}_{2}}{3{a}_{2}+1}$=$\frac{\frac{2}{7}}{3×\frac{2}{7}+1}$=$\frac{2}{13}$，a₄=$\frac{\frac{2}{13}}{3×\frac{2}{13}+1}$=$\frac{2}{19}$；
（2）由（1）可猜想：a_n=$\frac{2}{6n-5}$．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，等式成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k=$\frac{2}{6k-5}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{2}{6k-5}}{3×\frac{2}{6k-5}+1}$=$\frac{2}{6+6k-5}$=$\frac{2}{6（k+1）-5}$，
即n=k+1時(shí)，等式也成立．
綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)n∈N^*，a_n=$\frac{2}{6n-5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，猜得a_n=$\frac{2}{6n-5}$是關(guān)鍵，考查運(yùn)算與推理證明的能力，要求熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程和步驟．