Question

3．f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=e^x，（其中e=2.71828…為自然數(shù)的底數(shù)）
（1）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值
（2）若總存在實(shí)數(shù)t，對(duì)任意x∈[1，m]，都有f（x+t）≤ex成立，求正整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對(duì)任意x∈[1，m]恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)求得h（x）=1+lnx-x的最小值為h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整數(shù)m的值．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$，（x＞0）．
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
由當(dāng)1≤x≤2時(shí)，g′（x）≥0，
即g（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，
則此時(shí)的最大值為g（2）=$\frac{{e}^{2}}{2}$．
（2）解：當(dāng)t∈[-1，+∞）且x∈[1，m]時(shí)，x+t≥0，
∴f（x+t）≤ex即e^x+t≤ex，
即t≤1+lnx-x；
∴存在實(shí)數(shù)t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對(duì)任意x∈[1，m]恒成立；
令h（x）=1+lnx-x（1≤x≤m）；
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{1}{x}$-1≤0，
∴函數(shù)h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；
又∵x∈[1，m]，
∴h（x）_min=h（m）=1+lnm-m．
∴要使得對(duì)x∈[1，m]，t值恒存在，只須1+lnm-m≥-1；
∵h(yuǎn)（3）=ln3-2＞-1，h（4）=ln4-3＜-1；
且函數(shù)h（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴滿足條件的最大整數(shù)m的值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．