Question

13．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$
（Ⅰ）求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（2cos²$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|
的最小值為-1，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅲ）若點(diǎn)A（2，0），在y軸正半軸上是否存在點(diǎn)B滿足OC²=AC•BC，若存在，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$變形可得$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過二倍角公式化簡可得B（1+cosx，cosx），進(jìn)而可得$\overrightarrow{AB}$=（cosx，0）、C（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx），代入化簡可得f（x）=（cosx-m）²+1-m²，結(jié)合x∈[0，$\frac{π}{2}$]即cosx∈[0，1]，分m＜0、0≤m≤1、m＞1三種情況考慮即可；
（Ⅲ）通過設(shè)B（0，t），t＞0，利用$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$可得C（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t）、進(jìn)而有$\overrightarrow{AC}=（{-\frac{4}{3}，\frac{2t}{3}}）$、$\overrightarrow{CB}=（{-\frac{2}{3}，\frac{t}{3}}）$，代入${\overrightarrow{OC}^2}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$，計(jì)算即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
又∵$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$有公共點(diǎn)A，
∴A、B、C三點(diǎn)共線；
（Ⅱ）解：∵2cos²$\frac{x}{2}$=1+cosx，cos²$\frac{x}{2}$-sin²$\frac{x}{2}$=cosx，
∴B（1+cosx，cosx），
又∵A（1，cosx），
∴$\overrightarrow{AB}$=（1+cosx，cosx）-（1，cosx）=（cosx，0），
又∵$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴C（1+$\frac{2}{3}$cosx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）|$\overrightarrow{AB}$|
=1+$\frac{2}{3}$cosx+cos²x-（2m+$\frac{2}{3}$）cosx
=（cosx-m）²+1-m²，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]．
當(dāng)m＜0時(shí)，cosx=0時(shí)，f（x）取得最小值1，與已知相矛盾；
當(dāng)0≤m≤1時(shí)，cosx=m時(shí)，f（x）取得最小值1-m²，
∴1-m²=-1，即m=±$\sqrt{2}$（舍）；
當(dāng)m＞1時(shí)，cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值2-2m，
由2-2m=-1，得m=$\frac{3}{2}$＞1．
綜上：m=$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）結(jié)論：在y軸正半軸上存在點(diǎn)$B（{0，\sqrt{2}}）$滿足OC²=AC•BC．
理由如下：
設(shè)B（0，t），t＞0，
∵A（2，0），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$
=$\frac{1}{3}$（2，0）+$\frac{2}{3}$（0，t）
=（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$t），
∴$\overrightarrow{AC}=（{-\frac{4}{3}，\frac{2t}{3}}）$，$\overrightarrow{CB}=（{-\frac{2}{3}，\frac{t}{3}}）$，
∵${\overrightarrow{OC}^2}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{4}{9}+\frac{4}{9}{t^2}=\frac{8}{9}+\frac{2}{9}{t^2}$，
解得t²=2，即$t=±\sqrt{2}$，
又∵t＞0，
∴$t=\sqrt{2}$，即存在$B（{0，\sqrt{2}}）$．

點(diǎn)評 本題考查是一道關(guān)于平面向量的綜合題，涉及到三角函數(shù)、向量數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．