Question

10．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{18}$=1（a＞0）的左右焦點，過F₁的直線l與雙曲線的左支交于點B，與右支交于點A，若△ABF₂為等邊三角形，則△BF₁F₂的面積為（　　）

• A． $6\sqrt{3}$
• B． $8\sqrt{3}$
• C． $18\sqrt{3}$
• D． $8\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₂|-|BF₁|=2a，根據等邊三角形的性質，即可求得，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，△BF₁F₂中由余弦定理即可求得c²=7a²，由雙曲線的性質可知：a²+18=7a²，即可求得a的值，由三角形的面積公式可知∴△BF₁F₂的面積為${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$-${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×6a×4a×sin$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（4a）²，即可求得△BF₁F₂的面積．

解答 解：根據雙曲線的定義，可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
∵△ABF₂是等邊三角形，即|AF₂|=|AB|，
|AF₁|-|AB|=|BF₁|=2a，
又∵|BF₂|-|BF₁|=2a，
∴|BF₂|=|BF₁|+2a=4a，
∵△BF₁F₂中，|BF₁|=2a，|BF₂|=4a，∠F₁BF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²-2|BF₁|•|BF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-$\frac{1}{2}$）=28a²，解得c²=7a²，
∴a²+18=7a²，
∴a=$\sqrt{3}$，
∴△BF₁F₂的面積為${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$-${S}_{△AB{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×6a×4a×sin$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（4a）²，
=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（4×2）²=6$\sqrt{3}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單性質，考查三角形的面積公式及余弦定理的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．