Question

20．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{2}$=1的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A?B兩點(diǎn)，若|AB|=5，則這樣的直線l有（　　）

• A． 1條
• B． 2條
• C． 3條
• D． 4條

Answer 1

分析 先看當(dāng)A、B都在左支上時(shí)，若AB垂直x軸，根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，把焦點(diǎn)橫坐標(biāo)代入雙曲線方程求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB的長(zhǎng)小于5，則考慮不垂直于x軸的兩條；再看若A、B分別在兩支先看A，B為兩頂點(diǎn)時(shí)，不符合題意進(jìn)而可推斷出符合題意的直線有兩條，最后綜合可得答案．

解答 解：①若A、B都在右支，
若AB垂直x軸，a²=4，b²=2，c²=6，所以F（$\sqrt{6}$，0）
則AB：x=$\sqrt{6}$，
代入雙曲線線$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{2}$=1求得y=±$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
所以AB=|y₁-y₂|=$\frac{8}{\sqrt{6}}$＜5，不成立；
若A，B不垂直于x軸，則有兩條直線滿足；
②若A、B分別在兩支，
a=2，所以頂點(diǎn)距離為2+2=4＜5，所以|AB|=5有兩條，關(guān)于x軸對(duì)稱．
所以一共4條．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的對(duì)稱性和直線與雙曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生分析推理和分類討論思想的運(yùn)用．