18.如圖,某廣場(chǎng)中間有一塊綠地OAB,扇形OAB所在圓的圓心為O,半徑為r,∠AOB=$\frac{π}{3}$,廣場(chǎng)管理部門(mén)欲在綠地上修建觀光小路;在AB上選一點(diǎn)C,過(guò)C修建與OB平行的小路CD,與OA平行的小路CE,設(shè)所修建的小路CD與CE的總長(zhǎng)為s,∠COD=θ.
(1)試將s表示成θ的函數(shù)s=f(θ);
(2)當(dāng)θ取何值時(shí),s取最大值?求出s的最大值.

分析 (1)由扇形的半徑為r.在△ODC 中,∠AOB=$\frac{π}{3}$,則∠CDO=$\frac{2π}{3}$,利用正弦定理$\frac{r}{sin∠CDO}=\frac{CD}{sin∠COD}$,可求得CD與CE,從而可得函數(shù)s=f(θ);
(2)利用三角恒等變換,可求得s=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsin($\frac{π}{3}$-θ)=$\frac{\sqrt{3}}{3}rsinθ+rcosθ=\frac{2\sqrt{3}}{3}rsin(\frac{π}{3}+θ)$,θ∈(0,$\frac{π}{3}$),利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得s的最大值.

解答 解:(1)由扇形的半徑為r,在△ODC 中,∠AOB=$\frac{π}{3}$,則∠CDO=$\frac{2π}{3}$,
由正弦定理得$\frac{r}{sin∠CDO}=\frac{CD}{sin∠COD}$,
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ,同理CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}rsin(\frac{π}{3}-θ)$,
∴s=f(θ)=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsin($\frac{π}{3}$-θ),θ∈(0,$\frac{π}{3}$);
(2)∵s=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsin($\frac{π}{3}$-θ)=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$rsinθ$+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}rcosθ-\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}rsinθ$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}rsinθ+rcosθ=\frac{2\sqrt{3}}{3}rsin(\frac{π}{3}+θ)$,θ∈(0,$\frac{π}{3}$),
∵θ∈(0,$\frac{π}{3}$),
∴$\frac{π}{3}$+θ∈($\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$),
∴當(dāng)$\frac{π}{3}$+θ=$\frac{π}{2}$,即θ=$\frac{π}{6}$時(shí),smax=f($\frac{π}{6}$)=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,考查正弦定理與兩角差與兩角和的正弦,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

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