Question

19．證明：若函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x）=f（x-a）+f（x+a）（常數(shù)a∈R₊），則f（x）是周期函數(shù)，且6a是它的一個周期．

Answer 1

分析 由f（x）=f（x-a）+f（x+a）得f（x+a）=f（x）+f（x+2a），兩式相加得f（x+2a）=-f（x-a），令x取x+a、x+3a分別化簡，由函數(shù)的周期性的定義即可證明結(jié)論成立．

解答 證明：因為f（x）=f（x-a）+f（x+a），
所以f（x+a）=f（x）+f（x+2a），
兩式相加得，f（x+2a）=-f（x-a），
令x取x+a得，f（x+3a）=-f（x），
令x取x+3a得，f（x+6a）=f（[x+3a）+3a]=-f（x+3a）=f（x），
即f（x+6a）=f（x），又常數(shù)a∈R₊，
所以f（x）是周期函數(shù)，且周期為6a．

點評 本題考查函數(shù)周期性的定義以及判斷，考查賦值法的應(yīng)用，化簡、變形能力，屬于中檔題．