Question

10．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1內(nèi)一點P（3，1），且被這點平分的弦所在直線的方程是3x+4y-13=0．

Answer 1

分析 設出以點P（3，1）為中點的弦兩端點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），利用點差法可求得以P（3，1）為中點的弦所在直線的斜率．再由點斜式可求得直線方程．

解答 解：設以點P（3，1）為中點的弦兩端點為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，y₁+y₂=2．
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，①
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$=1，②
①-②得：$\frac{{{（x}_{1}+{x}_{2}）（x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$+$\frac{{（y}_{1}+{y}_{2}）{（y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$=0
又據(jù)對稱性知x₁≠x₂，
∴以點P（3，1）為中點的弦所在直線的斜率k=-$\frac{1×6}{4×2}$=-$\frac{3}{4}$，
∴中點弦所在直線方程為y-1=-$\frac{3}{4}$（x-3），即3x+4y-13=0．
故答案為：3x+4y-13=0．

點評 本題主要考查了直線與橢圓相交關系的應用，要掌握這種設而不求的方法在求解直線方程中的應用．