Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上任意一點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長為8+4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)Q（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）在線段AB的垂直平分線上，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2a+2c=8+4\sqrt{3}$，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由已知得|AQ|=|BQ|，求出|AQ|和以Q為圓心，|AQ|為半徑的圓，聯(lián)立方程組能求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出弦|AB|．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①
∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上任意一點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長為8+4$\sqrt{3}$，
∴$2a+2c=8+4\sqrt{3}$，②
聯(lián)立①②，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，∴b²=16-12=4，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）由已知得|AQ|=|BQ|，|AQ|=$\sqrt{16+\frac{27}{4}}$=$\frac{\sqrt{91}}{2}$，
以Q為圓心，|AQ|為半徑的圓為${x}^{2}+（y+\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{91}{4}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{{x}^{2}+（y+\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}=\frac{91}{4}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=-4}\\{{y}_{3}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{4}=-2}\\{{y}_{4}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴由題意得B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），（2，$\sqrt{3}$），（-2，$\sqrt{3}$），
∴|AB|=8，或|AB|=$\sqrt{39}$，或|AB|=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．