Question

16．求（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁵展開式的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 展開式的常數(shù)項(xiàng)有3種構(gòu)成：（1）5個(gè)括號(hào)都出$\sqrt{2}$，（2）5個(gè)括號(hào)中有2個(gè)出$\frac{x}{2}$，2個(gè)出$\frac{1}{x}$，1個(gè)出$\sqrt{2}$，（3）5個(gè)括號(hào)中有1個(gè)出$\frac{x}{2}$，1個(gè)出$\frac{1}{x}$，3個(gè)出$\sqrt{2}$，計(jì)算各自結(jié)果相加可得．

解答 解：由題意可知展開式的常數(shù)項(xiàng)有3種構(gòu)成，
（1）5個(gè)括號(hào)都出$\sqrt{2}$，結(jié)果為（$\sqrt{2}$）⁵=4$\sqrt{2}$；
（2）5個(gè)括號(hào)中有2個(gè)出$\frac{x}{2}$，2個(gè)出$\frac{1}{x}$，1個(gè)出$\sqrt{2}$，
結(jié)果為${C}_{5}^{2}{×C}_{3}^{2}×\sqrt{2}$×$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$；
（3）5個(gè)括號(hào)中有1個(gè)出$\frac{x}{2}$，1個(gè)出$\frac{1}{x}$，3個(gè)出$\sqrt{2}$，
結(jié)果為${C}_{5}^{1}×{C}_{4}^{1}×（\sqrt{2}）^{3}$×$\frac{1}{2}$=20$\sqrt{2}$，
綜合可得常數(shù)項(xiàng)為4$\sqrt{2}$+$\frac{15\sqrt{2}}{2}$+20$\sqrt{2}$=$\frac{63\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．