Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，現以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，使平面ADEF與平面ABCD垂直，M為ED的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求點D到平面BEC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證BC⊥平面BDE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BC與平面BDE內兩相交直線垂直，根據面面垂直的性質可知ED⊥平面ABCD，則ED⊥BC，根據勾股定理可知BC⊥BD，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）過點D作EB的垂線交EB于點G，則DG⊥平面BEC，從而點D到平面BEC的距離等于線段DG的長度，在直角三角形BDE中，利用等面積法即可求出DG，從而求出點D到平面BEC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD．
所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=$\sqrt{2}$．
在△BCD中，BD=BC=$\sqrt{2}$，CD=2，
所以BD²+BC²=CD²．
所以BC⊥BD．
所以BC⊥平面BDE．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥平面BDE
又因為BC?平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．
過點D作EB的垂線交EB于點G，則DG⊥平面BEC
所以點D到平面BEC的距離等于線段DG的長度
在直角三角形BDE中，S_△BDE=$\frac{1}{2}BD•DE$=$\frac{1}{2}BE•DG$
所以DG=$\frac{BD•DE}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
所以點D到平面BEC的距離等于$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定和點到面的距離的度量等有關知識，同時考查了空間想象能力、轉化與劃歸的思想，屬于綜合題．