Question

4．已知函數(shù)f（x）=3x-x³，則函數(shù)y=f[f（x）]-1的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=f（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)t=f（x），則由y=f[f（x）]-1=0
得f[f（x）]=1，
即f（t）=1，t=f（x），
函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3-3x²，
由f′（x）＞0得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得x＜-1或x＞1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)在x=1，取得極大值f（1）=3-1=2，
函數(shù)在x=-1，取得極小值f（-1）=-3+1=-2，
若f（t）=1，則方程有三個解，滿足-2＜t₁＜-1，
0＜t₂＜1，1＜t₃＜2，
則當-2＜t₁＜-1時，方程t=f（x），有3個根，
當0＜t₂＜1時，方程t=f（x），有3個根，
當1＜t₃＜2時，方程t=f（x），有3個根，
則共有9個根，
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，利用換元法，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．