Question

11．已知正項等比數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，b₃=4，S₃=7，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-a_n=n+1（n∈N⁺），且a₁=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意列式求得b₁，得到a₁，利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）直接利用裂項相消法求得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和．

解答 解：（1）由題意，設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則$\left\{\begin{array}{l}{_{1}{q}^{2}=4}\\{_{1}+_{1}q+_{1}{q}^{2}=7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$．
又a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{{n}^{2}+n}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}=2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓練了累加法求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．