Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤4π），則函數(shù)f（x）的所有極大值之和為（　�。�

• A． e^4π
• B． e^π+e^2π
• C． e^π-e^3π
• D． e^π+e^3π

Answer 1

分析 先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，即可求函數(shù)f（x）的各極大值之和．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）時，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）時原函數(shù)遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，函數(shù)f（x）=e^x（sinx-cosx）遞減，
故當(dāng)x=2kπ+π時，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤4π，
∴函數(shù)f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及等比數(shù)列的求和．利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x=2kπ+π時，f（x）取極大值是解題的關(guān)鍵，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．