Question

3．設函數f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤4π），則函數f（x）的所有極大值之和為（　　）

• A． e^4π
• B． e^π+e^2π
• C． e^π-e^3π
• D． e^π+e^3π

Answer 1

分析 先求出其導函數，利用導函數求出其單調區(qū)間，進而找到其極大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π，即可求函數f（x）的各極大值之和．

解答 解：∵函數f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ，2kπ+π）時，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，f′（x）＜0，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）時原函數遞增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）時，函數f（x）=e^x（sinx-cosx）遞減，
故當x=2kπ+π時，f（x）取極大值，
其極大值為f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]
=e^2kπ+π×（0-（-1））
=e^2kπ+π，
又0≤x≤4π，
∴函數f（x）的各極大值之和S=e^π+e^3π．
故選：D．

點評 本題主要考查利用導數研究函數的極值以及等比數列的求和．利用導數求得當x=2kπ+π時，f（x）取極大值是解題的關鍵，利用導數研究函數的單調性與最值是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．