【題目】如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為，點(diǎn)在底面的投影是線段的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）先通過證明面，從而證得，再利用勾股定理證得，而，所以證得，再利用線面垂直判定定理證得面.

（2）利用向量法，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，從而分別求出平面與平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通過同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出正弦值.

（1）連接，因?yàn)?/span>平面，所以

又為正三角形，，所以

而，所以平面，

所以

在中，，

所以，則為等腰直角三角形

因?yàn)?/span>為側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，又，所以

而，所以平面

（2）如圖，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，

由得

由（1）得為平面的一個(gè)法向量

設(shè)為平面的一個(gè)法向量

由得

取得

所以

故平面與平面夾角的正弦值為

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知ω＞0，0＜φ＜π，直線和是函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）圖象的兩條相鄰的對稱軸，若將函數(shù)f（x）圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，則得到的圖象的函數(shù)解析式是（ ）

A.B.

C.y＝2cos2xD.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四個(gè)正方體中，是正方體的一條體對角線，點(diǎn)分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出平面的圖形為（ ）

A.B.

C.D.

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【題目】網(wǎng)絡(luò)直播是一種新興的網(wǎng)絡(luò)社交方式，網(wǎng)絡(luò)直播平臺也成為了一種嶄新的社交媒體.很多人選擇在快手、抖音等網(wǎng)絡(luò)直播平臺上分享自己的生活點(diǎn)滴.2020年的寒假，注定不凡.因?yàn)樾鹿诓《疽咔榈挠绊懀_學(xué)延遲了，老師們停課不停教，在網(wǎng)絡(luò)上直播授課；同學(xué)們停課不停學(xué)，在家上網(wǎng)課.某網(wǎng)絡(luò)社交平臺為了了解網(wǎng)絡(luò)直播在大眾中的熟知度，對15-65歲的人群隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查的問題是“你直播過嗎？”其中，回答“直播過”的共有個(gè)人.把這個(gè)人按照年齡分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中，第一組的頻數(shù)為20.

（1）求 和的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（2）從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第1，3，4組抽取的人數(shù)；

（3）在（2）抽取的6人中再隨機(jī)抽取2人，求所抽取的2人來自同一個(gè)組的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐， 平面，底面中， ， ，且， 為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）問在棱上是否存在點(diǎn)，使平面，若存在，請求出二面角的余弦值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求b的值及該函數(shù)的零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】交警隨機(jī)抽取了途徑某服務(wù)站的40輛小型轎車在經(jīng)過某區(qū)間路段的車速（單位： ），現(xiàn)將其分成六組為后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）某小型轎車途經(jīng)該路段，其速度在以上的概率是多少？

（2）若對車速在兩組內(nèi)進(jìn)一步抽測兩輛小型轎車，求至少有一輛小型轎車速度在內(nèi)的概率.

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【題目】某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱AB與底面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂直，路燈C采用錐形燈罩，射出的管線與平面ABC部分截面如圖中陰影所示，路寬AD=24米，設(shè)

（1）求燈柱AB的高h（用表示）；

（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制作路燈燈柱AB和燈桿BC所用材料的總長度最��？最小值為多少？

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【題目】在下列四個(gè)命題中，錯誤的有（ ）

A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率

B.直線的傾斜角的取值范圍是

C.若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為

D.若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為

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