Question

6．在△ABC中，若AB=5，AC=12，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，則$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$的值為$\frac{25}{13}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，又|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，可得平行四邊形ABDC是矩形．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$，
∴四邊形ABDC是平行四邊形．
∵|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴平行四邊形ABDC是矩形．
∴|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}$=13，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$．
則$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{5×13×\frac{5}{13}}{13}$=$\frac{25}{13}$．
故答案為：$\frac{25}{13}$．

點評 本題考查了向量的平行四邊形法則、矩形的定義、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．