Question

1．設(shè)α為銳角，則“tanα＞2”是“-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可．

解答 解：由tanα＞2，α為銳角得60°＜arctan2＜α＜90°，則120°＜2α＜180°則tan（2arctan2）＜tan2α＜0，而tan（2arctan2）=-$\frac{4}{3}$＜0，所以，有“-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0”；
充分性成立．
∵α為銳角，∴0°＜2α＜180°，
∵-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0，
∴90°＜2α＜180°，則45°＜α＜90°，則tanα＞1
由-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0得-$\frac{4}{3}$＜$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$，
即-$\frac{4}{3}$（1-tan²α）＞2tanα，
即2tan²α-3tanα-2＞0，
解得tanα＞2或tanα$＜-\frac{1}{2}$（舍），即必要性成立，
故“tanα＞2”是“-$\frac{4}{3}$＜tan2α＜0”的充分必要條件，
故選：C

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一元二次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．