Question

18．已知△ABC滿足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足|$\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO}$|，且$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則cos∠BAC=（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$得：$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=（λ-1）\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$，從而可得到$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，D為邊AC的中點(diǎn)，這時(shí)可討論λ=0，λ≠0兩種情況：λ=0時(shí)顯然AB⊥BC，從而得出cos$∠BAC=\frac{3}{4}$，而λ≠0時(shí)，便有BD⊥AC，從而得出cos∠BAC=$\frac{2}{3}$，綜合這兩種情況即可得出cos∠BAC的值．

解答 解：根據(jù)條件：$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}=（λ-1）\overrightarrow{AB}$$+\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{λ-1}{2}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}）=\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$；
由$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO}|$知O為△ABC的外接圓圓心；
設(shè)AC中點(diǎn)為D，則$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，如圖所示：
則B，O，D三點(diǎn)共線；
①若λ≠0，則$\overrightarrow{BO}≠\overrightarrow{BD}$，∴O與D不重合；
∴$cos∠BAC=\frac{2}{3}$；
②若λ=0，則$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BD}$，∴O與D重合，∴AB⊥BC，∴cos$∠BAC=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{3}{4}$；
綜上得cos$∠BAC=\frac{2}{3}$，或$\frac{3}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法的幾何意義，向量數(shù)乘的運(yùn)算，以及共線向量基本定理，相等向量的概念，余弦函數(shù)的定義，直角三角形外接圓圓心在斜邊中點(diǎn)上．