Question

9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a-c=$\frac{\sqrt{6}}{6}$b，sinB=$\sqrt{6}$sinC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理解余弦定理即可求cosA的值；
（Ⅱ）利用二倍角的正弦、余弦公式求得sin2A、cos2A，在利用兩角差的余弦公式求得$cos（2A-\frac{π}{3}）$．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$及$sinB=\sqrt{6}sinC$，
可得$b=\sqrt{6}c$，（2分）
又由$a-c=\frac{{\sqrt{6}}}{6}b$，有a=2c（4分）
所以cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{6{c}^{2}+{c}^{2}-4{c}^{2}}{2\sqrt{6}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；                        （6分）
（Ⅱ）在△ABC中，由$cosA=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，可得$sinA=\frac{{\sqrt{10}}}{4}$，（7分）
所以$cos2A=2{cos^2}A-1=-\frac{1}{4}，sin2A=2sinAcosA=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，（9分）
所以cos（2A-$\frac{π}{3}$）=cos2Acos$\frac{π}{3}$+sin2Asin$\frac{π}{3}$=$-\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{-1+3\sqrt{5}}{8}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，在求解三角形時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的正確使用，在求解兩角和與差的三角函數(shù)時(shí)，要注意結(jié)合角的范圍，求出要用到的角的三角函數(shù)值，并利用公式正確求解．