Question

3．f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，且x＞0時，f′（x）cosx＜f（x）sinx則不等式f（x）cosx＞0的解集是（　�。�

• A． [-3，0]
• B． $（-\frac{π}{2}，0）∪（\frac{π}{2}，3]$
• C． $[-3，-\frac{π}{2}）∪（\frac{π}{2}，3]$
• D． $[-3，-\frac{π}{2}）∪（0，\frac{π}{2}）$

Answer 1

分析 判斷F（x）=f（x）cosx是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)F′x）=f′（x）cosx-f（x）sinx，
根據(jù)x＞0時，f′（x）cosx＜f（x）sinx，結(jié)合奇偶性得出F（x）=f（x）cosx在[0，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，[-3，0）是單調(diào)遞增函數(shù)，利用特殊值求解不等式即可．

解答 解：∵F（x）=f（x）cosx，f（x）是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，
∴F（-x）=f（-x）cos（-x）=-f（x）cosx=-F（x），
∴F（x）=f（x）cosx是定義在[-3，3]上的奇函數(shù)，
∵x＞0時，f′（x）cosx＜f（x）sinx，
∴F（x）=f（x）cosx在[0，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
[-3，0）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∵F（$\frac{π}{2}$）=0，F(xiàn)（-$\frac{π}{2}$）=0，
∴不等式f（x）cosx＞0的解集[-3，-$\frac{π}{2}$）∪（0，$\frac{π}{2}$），
故選：D

點評 本題考察了學(xué)生綜合運導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性求解不等式，屬于綜合題目，難度不大．