Question

7．已知x＞y＞0，且xy=3，求$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2}{x-y}$的最小值及相應(yīng)的x、y值．

Answer 1

分析 由題意可得x-y＞0，運(yùn)用配方結(jié)合條件化簡所求代數(shù)式為（x-y）+$\frac{4}{x-y}$，又基本不等式，以及等號(hào)成立的條件可得最小值和相應(yīng)的x，y的值．

解答 解：x＞y＞0，即為x-y＞0，
由xy=3，
$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+2xy-2}{x-y}$=$\frac{（x-y）^{2}+4}{x-y}$
=（x-y）+$\frac{4}{x-y}$≥2$\sqrt{（x-y）•\frac{4}{x-y}}$=4．
當(dāng)且僅當(dāng)x-y=$\frac{4}{x-y}$，即x-y=2，
又xy=3，即為x=3，y=1取得等號(hào)．
則有$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-2}{x-y}$的最小值為4，
相應(yīng)的x=3，y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意等號(hào)成立的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．