Question

16．已知|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$．

Answer 1

分析 |$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，兩邊平方化為t²-$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1≥0恒成立，可得△≤0，解出即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|，且$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${t}^{2}{\overrightarrow{e}}^{2}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+${\overrightarrow{e}}^{2}$，
化為t²-$2t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1≥0恒成立，
∴△=$4（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}）^{2}$-4（$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1）≤0，
化為$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}-1）^{2}≤$0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．