Question

14．設函數f（x）的定義域D，若存在非零實數m滿足?x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），則稱f（x）為M上的m高調函數，如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|，且f（x）為R上的8高調函數，那么實數a的取值范圍是[-2，2]．

Answer 1

分析 定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|，畫出函數圖象，根據高調函數的定義可知8≥2a²，解之即可求出a的取值范圍．

解答 解：定義域為R的函數f（x）是奇函數，
當x≥0時，f（x）=|x-a²|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-x，0≤x≤{a}^{2}}\\{x-{a}^{2}，x＞{a}^{2}}\end{array}\right.$，
根據解析式和函數是奇函數進行畫圖，圖象如右圖，
∵f（x）為R上的8高調函數，當x=0時，函數的值為a²，要滿足f（x+8）≥f（x），8大于等于區(qū)間長度2a²，
∴8≥2a²，
∴-2≤a≤2，即實數a的取值范圍是[-2，2]．

點評 本題主要考查學生的閱讀能力，應用知識分析解決問題的能力，考查數形結合的能力，用圖解決問題的能力，屬中檔題