Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=6，a_n-1•a_n-6a_n-1+9=0，n∈N^*且n≥2．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）把已知的數(shù)列遞推式變形，得到${a}_{n}=6-\frac{9}{{a}_{n-1}}$，然后直接利用$\frac{1}{{a}_{n+1}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{3（{a}_{n}-3）}=\frac{1}{3}$證得數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等差數(shù)列求出通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$，整理后利用裂項(xiàng)相消法求得答案．

解答 （1）證明：由a_n-1•a_n-6a_n-1+9=0，得${a}_{n}=6-\frac{9}{{a}_{n-1}}$，
∴${a}_{n+1}=6-\frac{9}{{a}_{n}}$，
則$\frac{1}{{a}_{n+1}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{1}{6-\frac{9}{{a}_{n}}-3}-\frac{1}{{a}_{n}-3}$=$\frac{{a}_{n}-3}{3（{a}_{n}-3）}=\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}-3}$}是公差為$\frac{1}{3}$的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{a}_{n}-3}=\frac{1}{{a}_{1}-3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{n}{3}$，
∴${a}_{n}=\frac{3（n+1）}{n}$；
（3）解：b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{\frac{3（n+1）}{n}}{（n+1）^{2}}=\frac{3}{n（n+1）}=3（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
則${T}_{n}=3（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$3（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{3n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．