Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，則a₂₀₁₅=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 直接由已知求得數(shù)列前幾項(xiàng)，得到數(shù)列的周期，由周期性得答案．

解答 解：由a₁=3，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，得
${a}_{2}=\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}=\frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}$，
${a}_{3}=\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{2}}=\frac{\frac{2}{3}-1}{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}$，
${a}_{4}=\frac{{a}_{3}-1}{{a}_{3}}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}}=3$，
由上可得：數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
則${a}_{2015}={a}_{3×671+2}={a}_{2}=\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的周期性，是基礎(chǔ)題．