Question

9．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{4}≤1}\\{y≥2-\frac{x}{2}}\end{array}\right.$，則z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值為$\frac{1}{256}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，m=2x-y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值，然后求解z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值．

解答 解：實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x+2}\\{\frac{x}{4}+\frac{y}{4}≤1}\\{y≥2-\frac{x}{2}}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2y=4-x}\end{array}\right.$解得C（4，0）
當直線m=2x-y過點C時，
在y軸上截距最小，此時m取得最大值8．
則z=（$\frac{1}{2}$）^2x-y的最小值為：$\frac{1}{{2}^{8}}$=$\frac{1}{256}$．
故答案為：$\frac{1}{256}$．

點評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．