Question

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知$AB=AC=A{A_1}=\sqrt{5}，BC=4$，點(diǎn)A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點(diǎn)O．
（1）證明：在側(cè)棱AA₁上存在一點(diǎn)E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C的側(cè)面積．

Answer 1

分析 （1）連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點(diǎn)E，證明得OE⊥BB₁，A₁O⊥BC，推出AO⊥BC，然后證明BC⊥平面AA₁O，推出BC⊥OE，證明OE⊥平面BB₁C₁C，然后求解AE即可．
（2）連接BE，EC，OE⊥平面BB₁C₁C，可得AA₁⊥平面EBC，然后求解三棱柱ABC-A₁B₁C的側(cè)面積．

解答 （1）證明：連接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于點(diǎn)E，因?yàn)锳A₁∥BB₁，
得OE⊥BB₁，因?yàn)锳₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC，
因?yàn)锳B=AC，OB=OC，得AO⊥BC，所以BC⊥平面AA₁O，
所以BC⊥OE，所以O(shè)E⊥平面BB₁C₁C，
又$AO=\sqrt{A{B^2}-B{O^2}}=1，A{A_1}=\sqrt{5}$，得$AE=\frac{{A{O^2}}}{{A{A_1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（5分）
（2）解：由（1）連接BE，EC，OE⊥平面BB₁C₁C，可得AA₁⊥平面EBC，
∴EB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{5-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
三棱柱ABC-A₁B₁C的側(cè)面積：2×$\frac{2\sqrt{30}}{5}$×$\sqrt{5}$+4×$\sqrt{5}$=$4（{\sqrt{5}+\sqrt{6}}）$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，棱柱的側(cè)面積的求法，考查計(jì)算能力以及空間想象能力．