Question

3．已知函數(shù)f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$（m∈R），分別求m的取值范圍．
（1）f（x）為正比例函數(shù)；
（2）f（x）為反比例函數(shù)；
（3）f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）為正比例函數(shù)；列出方程求出m的范圍即可．
（2）利用f（x）為反比例函數(shù)；列出方程求解即可．
（3）f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．利用組合數(shù)的定義求解即可．

解答 解：（1）f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$，
f（x）為正比例函數(shù)；可知：m²-2m-1=1，并且m²+m≠0，解得m=1±$\sqrt{3}$．
（2）函數(shù)f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$（m∈R），f（x）為反比例函數(shù)；
可知：m²-2m-1=-1，并且m²+m≠0，解得m=2．
（3）函數(shù)f（x）=（m²+m）x${\;}^{{m}^{2}-2m-1}$，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
可得函數(shù)f′（x）=（m²+m）（m²-2m-1）${x}^{{m}^{2}-2m-2}$＞0在（0，+∞）上恒成立．
即：（m²+m）（m²-2m-1）＞0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＞0}\\{{m}^{2}-2m-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+m＜0}\\{{m}^{2}-2m-1＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＜-1或m$＞1+\sqrt{2}$或1-$\sqrt{2}＜$m＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．