Question

11．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)曲線C的極坐標方程為ρ=6cosθ+2sinθ．（1）寫出曲線C的一個參數(shù)方程；
（2）若直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=3t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）與曲線C有且僅有一個公共點，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線C的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程；
（2）求出直線l的普通方程，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程解出m．

解答 解：（1）∵ρ=6cosθ+2sinθ．∴ρ²=6ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=6x+2y，即（x-3）²+（y-1）²=10．
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{10}cosα}\\{y=1+\sqrt{10}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）直線l的普通方程為3x-y-3m=0，
∵直線l與曲線C有且僅有一個公共點，
∴曲線C的圓心（3，1）到直線l的距離d=$\sqrt{10}$．
∴$\frac{|8-3m|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$，
解得m=$\frac{10}{3}$或m=-$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．