Question

12．在數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=$\frac{1}{2}$，如果a_n+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項，那么a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{201{6}^{2}}$的值$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 由a_n+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項，可得${a}_{n+1}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n＞0，化為：a_n+1a_n+1=2a_n+1，通過求出a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{3}{4}$，…，猜想半球已知可得：a_n=$\frac{n}{n+1}$．$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，再利用“裂項求和方法”即可得出．

解答 解：∵a_n+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項，
∴${a}_{n+1}^{2}$=$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n＞0，
化為：a_n+1a_n+1=2a_n+1，
∴n=2時，$\frac{1}{2}{a}_{2}$+1=2a₂，解得a₂=$\frac{2}{3}$，
∴n=3時，$\frac{2}{3}$a₃+1=2a₃，a₃=$\frac{3}{4}$，…，
猜想a_n=$\frac{n}{n+1}$，代入：a_n+1a_n+1=2a_n+1成立．
∴a_n=$\frac{n}{n+1}$，∴$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{201{6}^{2}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}）$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、猜想歸納能力、“裂項求和方法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．