Question

3．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個棱長為1的正方體，O₁是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是棱BB₁上的點，且S_△DBM：S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2：3，則四面體O₁ADM的體積為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 利用S_△DBM：S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2：3，求出BM，再求出${S}_{△{O}_{1}DM}$，即可求出四面體O₁ADM的體積．

解答 解：設(shè)BM=x，BD=$\sqrt{2}$，O₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵S_△DBM：S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2：3，
∴$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•x$：$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}•（1-x）$=2：3，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴${S}_{△{O}_{1}DM}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}\sqrt{2}$
∴四面體O₁ADM的體積為${V}_{A-{O}_{1}DM}$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{16}\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{16}$．
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查求四面體O₁ADM的體積，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．