Question

13．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，其前項(xiàng)和是S_n，若a₁=d=1，則$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得：a_n=n，S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，于是$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{16}{n}+1）$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{n（1+n）}{2}+8}{n}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{16}{n}+1）$$≥\frac{1}{2}（2\sqrt{n•\frac{16}{n}}+1）$=$\frac{9}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$的最小值是$\frac{9}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．