Question

已知

a

=（2，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），命題p：“存在θ∈R，使

a

⊥

b

”，試證明命題p是假命題．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：假設(shè)存在θ∈R，使

a

⊥

b

，則有

a

•

b

=0，推出cosθ≤-

3

2

，這和余弦函數(shù)的值域相矛盾，可得命題p是假命題．

解答： 證明：反證法：假設(shè)存在θ∈R，使

a

⊥

b

，則有

a

•

b

=2+cosθ+sinθcosθ=2+cosθ+

1

2

sin2θ=0，
故有cosθ=-2-

1

2

sin2θ．
由于

1

2

sin2θ∈[-

1

2

，

1

2

]，∴cosθ≤-

3

2

，這和余弦函數(shù)的值域相矛盾，故假設(shè)不正確，
即命題p是假命題．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，余弦函數(shù)、正弦函數(shù)的定義域和值域，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于基礎(chǔ)題．