Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{{1+a{x^2}}}$，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，證明：存在實(shí)數(shù)m＞0，使得對(duì)任意的x，都有-m≤f（x）≤m成立；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=k（x-a）僅有負(fù)實(shí)數(shù)解？當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時(shí)的情形又如何？（只需寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)的f（x）解析式和導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線方程，進(jìn)而得到切線方程；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，討論x＜1，x＞1，f（x）的取值范圍，記M=max{|f（x₁）|，f（x₂）|}，即可得到存在實(shí)數(shù)m∈[M+∞），使得成立；
（Ⅲ）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$與a=2時(shí)，不存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程僅有負(fù)數(shù)解．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{1-\frac{1}{4}{x}^{2}}$，
導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{4}$•$\frac{-（x-1）^{2}-3}{（1-\frac{1}{4}{x}^{2}）^{2}}$，
即有f′（1）=-$\frac{4}{3}$，f（1）=0，
則f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-$\frac{4}{3}$（x-1），
即為4x+3y-4=0；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\frac{1-x}{{1+a{x^2}}}$的定義域?yàn)镽，
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2ax-1}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
f′（x）=0，可得x₁=1-$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$＜0，x₂=1+$\sqrt{1+\frac{1}{a}}$＞1，
當(dāng)x＜x₁，x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
又f（1）=0，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，
當(dāng)x≤1時(shí)，0≤f（x）≤f（x₁），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x₂）≤f（x）＜0，
記M=max{|f（x₁）|，f（x₂）|}，
綜上，a＞0時(shí)，存在實(shí)數(shù)m∈[M+∞），使得對(duì)任意的x，都有-m≤f（x）≤m成立；
（Ⅲ）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$與a=2時(shí)，不存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程僅有負(fù)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查存在性問(wèn)題的解法，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．