Question

16．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*，1≤n≤46）滿(mǎn)足a₁=a，a_n+1-a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{d，1≤n≤15}\\{1，16≤n≤30}\\{\frac{1}dsv6lo6，31≤n≤45}\end{array}}$其中d≠0，n∈N^*．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求a₄₆關(guān)于d的表達(dá)式，并求a₄₆的取值范圍；
（2）設(shè)集合M={b|b=a_i+a_j+a_k，i，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16}．若a=$\frac{1}{3}$，d=$\frac{1}{4}$，求證：2∈M．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)行遞推即可，求a₄₆關(guān)于d的表達(dá)式，并求a₄₆的取值范圍；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出b的表達(dá)式，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，a₁₆=1+15d，a₃₁=16+15d，${a_{46}}=16+15（d+\frac{1}7zn2zjq）$．
因?yàn)閐≠0，$d+\frac{1}soyloyx≥2$，或$d+\frac{1}fumpsy4≤-2$，
所以a₄₆∈（-∞，-14]∪[46，+∞）．
（2）由題意${a_n}=\frac{1}{3}+\frac{n-1}{4}$，1≤n≤16，$b=1+\frac{i+j+k-3}{4}$．
令$1+\frac{i+j+k-3}{4}=2$，得i+j+k=7．
因?yàn)閕，j，k∈N^*，1≤i＜j＜k≤16，
所以令i=1，j=2，k=4，則2∈M．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算和推理能力，有一定的難度．