Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，求證：
（1）平面ACC′A′⊥平面A′BD
（2）AC′⊥平面A′BD．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）充分利用正方體的性質(zhì)，容易得到BD⊥平面ACC′A′，利用面面垂直的判定定理可知；
（2）由正方體的性質(zhì)得到A′D⊥平面AD′C′，進(jìn)一步由線面垂直的性質(zhì)得到A′D⊥AC′，同理得到A′B⊥AC′，由線面垂直的判定可得．

解答： 證明：（1）∵幾何體是正方體的性質(zhì)，
∴BD⊥AC，BD⊥AA′，
∴BD⊥平面ACC′A′，
∴平面ACC′A′⊥平面A′BD；
（2）連接 AD′，∵幾何體是正方體，
∴A′D⊥AD′且C′D′⊥平面ADD′A′∴C′D′⊥A′D 
∴A′D⊥平面AD′C′
∴A′D⊥AC′
同理  A′B⊥AC′
則AC′⊥平面A′BD．

點評：本題考查了正方體的性質(zhì)以及正方體中面面垂直的判定和線面垂直的判定，關(guān)鍵是熟練有關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理．本題也可以借助于向量解答．