Question

已知橢圓E長軸的一個(gè)端點(diǎn)是拋物線y²=12x的焦點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離是1．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A、B是橢圓E的左右端點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P是橢圓E上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交y軸于M、N，問

OM

•

0N

是否為定值，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的長半軸長，再由a-c=1求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出直線PA和PB的方程，取x=0求得M，N的坐標(biāo)，得到向量

OM

，

ON

的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式可得

OM

•

0N

為定值．

解答： 解：（1）由拋物線y²=12x，得焦點(diǎn)為（3，0），
已知可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸，且a=3，
又a-c=1，則c=2，
∴b²=a²-c²=5，
故橢圓的方程為：

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則5x02+9y02=45，且A（-3，0），B（3，0），
又直線PA：y=

y0

x0+3

(x+3)，直線PB：y=

y0

x0-3

(x-3)，
令x=0，得：

OM

=(0，

3y0

x0+3

)，

ON

=(0，

-3y0

x0-3

)，
故

OM

•

ON

=

-9y02

x02-9

=

5x02-45

x02-9

=5為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是中檔題．