Question

4．不等式log_ax＞sin2x（a＞0且a≠1）對任意$x∈（0，\frac{π}{4}）$都成立，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\frac{π}{4}）$
• B． $[\frac{π}{4}，1）$
• C． $（\frac{π}{4}，1）∪（1，\frac{π}{2}）$
• D． （0，1）

Answer 1

分析 對a進行分類討論，當(dāng)a＞1時可得sin2x＞0、log_ax＜0顯然不符合；當(dāng)0＜a＜1時作出函數(shù)y=log_ax和y=sin2x的圖象，利用圖象和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 列出不等式，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)a＞1時，x∈（0，$\frac{π}{4}$），sin2x＞0，而log_ax＜0顯然不符合，
故0＜a＜1，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，
要使得x∈（0，$\frac{π}{4}$），log_ax＞sin2x都成立，
則只有sin（2×$\frac{π}{4}$）≤log_a$\frac{π}{4}$，
即sin$\frac{π}{2}$≤log_a$\frac{π}{4}$，
則1≤log_a$\frac{π}{4}$，解得$\frac{π}{4}$≤a＜1，
即a的取值范圍是[$\frac{π}{4}$，1），
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是準確作出正弦函數(shù)及對數(shù)函數(shù)在所給區(qū)間上的圖象，屬于中檔題．