Question

6．隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組對公務(wù)員和教師各抽取了50人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

	公務(wù)員	教師	合計
同意延遲退休	40	n	70
不同意延遲退休	m	20	p
合計	50	50	100

附：

（Ⅰ）求上表中m，n，p的值，并問是否有95%的把握認(rèn)為“是否同意延遲退休與不同的職業(yè)有關(guān)”．
（Ⅱ）現(xiàn)用分層抽樣方法（按同意和不同意分二層）從調(diào)查的兩個職業(yè)人群中各抽取五人，然后從每個職業(yè)的五人中各抽取兩人，將這四人中的同意延遲退休的人數(shù)記為x，求x的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，得到m=10，n=30，p=30．從而求出K²=$\frac{100}{21}≈4.762＞3.841$，從而有95%的把握認(rèn)為“是否同意延遲退休與不同的職業(yè)有關(guān)”．
（Ⅱ）公務(wù)員有4人同意，1人不同電，教師有3人同意，2人不同意，從兩個職業(yè)人群中各抽取巧人，同意延遲退休的人數(shù)X的取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，得到：
$\left\{\begin{array}{l}{40+m=50}\\{n+20=50}\\{70+p=100}\end{array}\right.$，
解得m=10，n=30，p=30．
K²=$\frac{n（ab-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100（40×20-30×10）^{2}}{50×50×70×30}$=$\frac{100}{21}≈4.762＞3.841$，
∴有95%的把握認(rèn)為“是否同意延遲退休與不同的職業(yè)有關(guān)”．
（Ⅱ）公務(wù)員有4人同意，1人不同電，教師有3人同意，2人不同意，
從兩個職業(yè)人群中各抽取巧人，同意延遲退休的人數(shù)X的取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{25}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}{C}_{5}^{2}}$=$\frac{9}{50}$，
P（X=3）=1-$\frac{1}{25}-\frac{3}{10}-\frac{9}{50}$=$\frac{12}{25}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{50}$

EX=$\frac{1}{25}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{12}{25}+4×\frac{9}{50}$=$\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查K²的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．