Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)b_n=${2}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）證明：$\frac{{T}_{n}{T}_{n+2}}{{T}_{n+1}^{2}}$＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）先由a_n+1=2+a_n（n∈N^*），a₁=1得到，數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，寫出a_n和S_n，
（2）寫出b_n的通項(xiàng)公式，數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，寫出前n項(xiàng)和公式，
（3）分別寫出T_n•T_n+2和${T}_{n+1}^{2}$，化簡(jiǎn)比較兩者的大小，即可證明．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），且a₁=1．
∴a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
即a_n=2n-1，（n∈N^*），
∴{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
（2）∵b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2^2n-1=$\frac{1}{2}$•4ⁿ=2•4^n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
又?jǐn)?shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，則T_n=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，
（3）$\frac{{T}_{n}{T}_{n+2}}{{T}_{n+1}^{2}}$$\frac{{4}^{2n+2}-{4}^{n}-{4}^{n+2}+1}{{4}^{2n+2}-2•{4}^{n+1}+1}$（n∈N^*），
4ⁿ+4ⁿ⁺²=$\frac{1}{4}•{4}^{n+1}+4•{4}^{n+1}$=$\frac{17}{4}$•4ⁿ⁺¹＞2•4ⁿ⁺¹，
4²ⁿ⁺²-4ⁿ-4ⁿ⁺²+1＜4²ⁿ⁺²-2•4ⁿ⁺¹+1，
∴$\frac{{T}_{n}{T}_{n+2}}{{T}_{n+1}^{2}}$＜1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查綜合觀察和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．