Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）求證：對任意的b＞a＞0，有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，從而由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-1在（0，+∞）上是減函數(shù)可判斷對任意的b＞a＞0，$\frac{1}$-1＜$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$-1，可證明$\frac{1}{a（1+a）}$＞$\frac{1}{a}$-1，從而證明．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴f_max（x）=f（1）=ln1-1+1=0；
（Ⅱ）證明：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-1在（0，+∞）上是減函數(shù)；
∴對任意的b＞a＞0，$\frac{1}$-1＜$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a}$-1，
而$\frac{1}{a（1+a）}$-（$\frac{1}{a}$-1）=$\frac{1-1-a+{a}^{2}+a}{a（1+a）}$=$\frac{{a}^{2}}{a（1+a）}$＞0，
∴$\frac{1}{a（1+a）}$＞$\frac{1}{a}$-1，
∴對任意的b＞a＞0，有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的證明．