13．設(shè)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b）=0，證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=-ξf′（ξ）

分析 設(shè)F（x）=xf（x），可得F（a）=F（b）=0，根據(jù)羅爾定理，可得在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′（ξ）=0，進(jìn)而得到答案．

解答 證明：設(shè)F（x）=xf（x），顯然函數(shù)F（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，
且F（a）=af（a）=0，F(xiàn)（b）=bf（b）=0，
即F（a）=F（b）
所以根據(jù)羅爾定理，在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ）=0．
即f（ξ）=-ξf′（ξ）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是羅爾定義的應(yīng)用，函數(shù)的連續(xù)性，難度中檔．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

3．設(shè)X為隨機(jī)變量，從棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)中任取四個點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時，X=0；當(dāng)四點(diǎn)不共面時，X的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積
（1）求X=0的概率；
（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．

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4．函數(shù)f（x）=-x2+3x+1，x∈[m，m+1]，求：
（1）f（x）的最小值g（m）；
（2）g（m）的最大值．

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1．已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）求證：對任意的b＞a＞0，有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜$\frac{1}{a（1+a）}$．

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8．不查表，求$\frac{sin7°+cos15°sin8°}{cos7°-sin15°sin8°}$的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．求下列函數(shù)的定義域：
（1）y=3${\;}^{\frac{1}{2x+1}}$；
（2）y=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{x}}$；
（3）y=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{x}-2}}$（a＞0，a≠1）；
（4）y=log2$\frac{1}{3x-2}$；
（5）y=$\sqrt{2lo{g}_{2}x-5}$；
（6）y=log2$\frac{1}{1-{3}^{x}}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．已知函數(shù)f（x）=loga$\frac{1-x}{1+x}$，若f（$\frac{1}{2}$）=-1，則f（-$\frac{1}{2}$）=1；若 f（b）=c，則f（-b）=-c．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．已知a∈R，函數(shù)f（x）=（x-a）|x-1|．
（Ⅰ）若a=3，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[a-$\sqrt{2}$+1，b]上的值域?yàn)閇-1，1]，求a，b需要滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．?dāng)?shù)集{x|0＜x≤2，x∈R}用區(qū)間表示為（　�。�
A．[0，2]B．（0，2]C．[0，2）D．（0，2）

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