Question

16．已知f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx-1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤1}．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率是-3，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[-3，0]時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）-ma+1=0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=3ax²+bx+c，從而可得f′（x）=3a（x+2）（x-1），且a＜0；再由f′（2）=-3解得；
（2）結(jié)合（1）知b=3a，c=-6a，從而可化簡方程為x³+$\frac{3}{2}$x²-6x-m=0，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx-1，
∴f′（x）=3ax²+bx+c，
又∵不等式f′（x）≥0的解集為{x|-2≤x≤1}，
∴f′（x）=3a（x+2）（x-1），且a＜0；
∴f′（2）=3a（2+2）（2-1）=-3，
解得，a=-$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）知，b=3a，c=-6a，
故f（x）-ma+1=0可化為ax³+$\frac{1}{2}$•3ax²-6ax-1-ma+1=0，
即x³+$\frac{3}{2}$x²-6x-m=0，
即x³+$\frac{3}{2}$x²-6x=m，
令g（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x，則g′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1），
故g（-3）=-27+$\frac{27}{2}$+18=$\frac{9}{2}$，g（-2）=-8+6+12=10，
g（0）=0，
作g（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{9}{2}$，10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．